Ricostruzioni Spline per grandezze filtrate su varietà nella risoluzione delle N.S.

Candidato: Ing. Gianluca Pesce.
Relatore: Prof. Ing. Carlo Meola (Fluidodinamica numerica), Giuseppe De Felice (Fluidodinamica)
Correlatore: Ing. Gennaro Coppola
Dipartimento: DETEC
Anno: Marzo 2003

Scopo del presente lavoro di tesi è stato quello di iniziare ad investigare limiti e vantaggi dell’impiego di particolari ricostruzioni fattorizzate delle variabili che intervengono nel modello delle Navier Stokes.
E’ stata considerata la discretizzazione cosiddetta dei volumi di controllo (CV), per cui partendo dai valori medi nei singoli volumi di controllo (variabili computazionali o incognite), occorre implementare ricostruzioni relative alle medie di superficie, delle variabili primitive, dei loro gradienti e quindi dei loro prodotti (per i flussi di quantità di moto).

Il problema algebrico di tale ricostruzione è stato definito in generale, tuttavia ai fini dell’implementazione in un risolutore delle Navier Stokes incompressibile 3D sono state specificatamente considerate:

a) Ricostruzioni parziali sulle superfii dei CV (faccia) delle variabili primitive e dei loro gradienti, di tipo globale ed implicito tramite interpolazione spline monodimensionale cubica delle funzioni integrali delle variabili (esse risultano note per punti dalla somma dei valori dei volumi di controllo).

b) Ricostruzioni locali del 2°ordine a partire dai valori medi di faccia già ricostruiti delle variabili delle funzioni puntuali sulle “superfici” dei volumi di controllo. Con tali ricostruzioni sono stati ricostruiti i flussi di quantità di moto attraverso le facce.

Utilizzando le su indicate ricostruzioni è stata implementata la risoluzione delle Navier Stokes 3D sia stazionarie che instazionarie. Esprimendo i bilanci di massa e di quantità di moto (q.d.m.) per ciascun volume di controllo, le equazioni  risultanti richiedono, a causa del carattere globale della ricostruzione, la risoluzione di (N1xN2+N1xN3+N2xN3) sistemi di ricostruzione spline per il calcolo dei coefficienti di N1; N2; N3, cubiche essendo N1,N2,N3 il numero dei CV lungo le tre direzioni. Nel caso instazionario le equazioni sono state integrate nel tempo con formule esplicite. Il bilancio della massa, ovvero la determinazione del campo di pressione, è stato risolto seguendo la classica procedura di Uzawa, e successivamente accelerato ricorrendo a metodi di rilassamento ottimali di tipo minres presente nel linguaggio di programmazione, essendo tutto il solver scritto in Matlab. Nel modello stazionario è stato affrontato lo studio della risoluzione numerica utilizzando svariati processi iterativi, tutti notevolmente onerosi. Un notevole sforzo è stato effettuato per conciliare il processo ricostruttivo della pressione con il buon condizionamento delle equazioni di continuità che come è noto, possono diventare molto critiche nelle discretizzazioni su volumi colocati. Si è infatti trovato che impiegando una ricostruzione spline di tipo “telescopico” per l’equazione di correzione delle velocità, si riesce ad ottenere un notevole miglioramento computazionale nella risoluzione delle equazioni di continuità.

Nelle figure seguenti si riportano alcune rappresentazioni del campo di moto calcolato su uno standard test case ad un medesimo istante di tempo in due stazioni differenti del dominio

Sulla base del lavoro si è potuto concludere che :

1)La risoluzione delle N.S. basate su ricostruzioni globali e spline di medie di superficie è possibile.

2)Indicazioni sulla convenienza computazionale di tale approccio come rapporto onere/accuratezza non sembrano lusinghiere, anche se i calcoli sono stati possibili su un computer  equipaggiato con un processore Athlon 900Mz.

I codici sono stati sviluppati in Matlab e non sono stati scritti in un altro linguaggio in forma ottimale, poiché questo è un ottimo strumento di ricerca anche se mostra i suoi limiti ai fini dell’applicazione nella CFD.